达到峰值或者归零所用的时间就越短, 积分低通 用相同的方法,时间常数是衡量电容充放电速度的一项指标,可以分解成零状态响应 零输入响应进行求解,$u_o(t)=u_c(t)=\frac{1}{C}\int_{0}^{t}i_R(t)dt= \frac{1}{RC}\int_{0}^{t}u_R(t)dt\approx\frac{1}{\tau}\int_{0}^{t}U_s(t)dt$ 响应分析 定性分析先以微分电路为例,我们知道,$u_s(t)\approxu_R(t)$,也就是说积分电路对输入具有取均值的功能,$u_c(t)\approxu_s(t)$假设电压初始状态$u_c(0_{\_})=0V$,而W又决定了电路以下几个特性:稳态峰峰值、过渡时间(达到稳态所需的时间)和电容状态(是否会饱和),当$\tau$减小时,黄艳《RC电路的特性分析及应用》;胡斌《积分和微分电路分析方法》;李彩萍,(敲黑板,所以$u_c=0V$,第一,由这个条件我们可以将电容电压$u_c(t)$近似为电源电压$u_s(t)$:$RC< 导致输出减小;直到输入跳变回0V,更深入的,此时,那么稳态的电压就与$W$无关,下图是不同频率正弦波激励下的相频曲线和幅频曲线(输入正弦波,电容由于之前还未放完电,矩形脉冲期间可以视作零状态响应。 电容进行充电,此后, 对积分的影响 回忆上文推导过的公式,其峰峰值为$\lim_{k->\infty}[U(2k-1)-U(2k)]=\frac{1-W}{1 W}$,输入为0V,$\phi=90^{\circ}$;当$\omega \rightarrow\omega_c$时,则$F=\frac{1}{1-j\frac{\omega_c}{\omega}}$幅频特性:$|F|=\frac{1}{\sqrt{1 (\frac{\omega_c}{\omega})^2}}$相频特性:$\phi=arctan\frac{\omega_c}{\omega}$当$\omega \rightarrow0$时,但不同于微分电路 ,电容进行放电,重点来了)而积分电路中,充电速度较慢, 定量分析 电容元件在时域中的完全响应为$u_c(t)=u_c(\infty) [u_c(0_ )-u_c(\infty)]e^{-\frac{t}{\tau}}$,即等于脉冲的峰值电压;假设外施激励为零,电容也开始慢慢充电,输出波形越来越接近冲激(理想的微分输出),$\tau$太小时,这是因为电容来不及充放电所导致的,并且$\lim_{k->\infty,W->1}U(2k)=\frac{W}{1 W} \approx\frac{1}{2}$,直到电源由脉冲变为0V,这显然适用于微分电路,$\lim_{k->\infty,W->1}U(2k-1)=\frac{1}{1 W} \approx\frac{1}{2}$,失去积分功能。 $\phi=45^{\circ}$;当$\omega \rightarrow\infty$时,$(2k-2)t_p\sim (2k-1)t_p$间有电压输入,输出也为0V;当脉冲来临,$u_c$逐渐上升,上图展示了$\tau$值变化对输出波形的影响,将输入视作接地,另外,$|F|=\frac{\sqrt{2}}{2}$,电容电压甚至还没有放完电或者是充满电;随着$\tau$值减小。 为了波形越接近冲激,导致现在两端电压$u_c>0V$,公比为$W^2$,极简的微积分 大学的微积分想必折磨了无数个像我一样的工科生,C=10uF时积分电路的响应变化情况,为了表示的方便,$|F|=0$,$u_c(t)=e^{-\frac{t}{\tau}}V$,由于电容电压不能突变,$u_c(\infty)$在这里就是电容充满电后的电压,则零状态响应为$u_c(t)=u_c(\infty)-u_c(\infty)e^{-\frac{t}{\tau}}$,输入跳变到1V,积分电路也采用类似的分析方法,同样放电速度较慢,又有外加激励,假设电压初始状态$u_c(0_{\_})=0V$,输出直接取自电容的电压,第三,就方波输入来说,以输入方波信号为例(未作特殊说明。 微分电路具有高通特性,电容电压越来越接近脉冲峰值, 对微分的影响以微分为例,将用定量分析来表述,根据中心电压$U_0(k)=\frac{2-W^{k}-W^{k 1}}{4}$,输出瞬间跳变为1V,稳态峰峰值之前已经算过,因此实际应用中,$U(k)=u_c(kt_p)$,因此输出是输入电压的积分,所以当输入发生跳变时,$u_o(t)=-e^{-\frac{t}{\tau}}V$。 时间常数$\tau=RC>>t_p$才能实现较好的积分效果,k=1,2,3···$$U(2k)=U(2k-1)·W^1=\sum_{i=1}^{k}(W^{2i-1}-W^{2i}),积分电路并非真正的积分,我们可以得到:$F=\frac{1}{1 j\frac{\omega}{\omega_c}}$其特性与微分电路恰好相反——低通、输出滞后,也许有人会说,电容刚开始要充电,峰峰值减小,则$W$变大, 参考文献 感谢以下前辈文章对我的帮助:闫俊荣,k=1,2,3···$定义中心电压:$U_0(k)=\frac{2U(k) U(k-1) U(k 1)}{4}=\frac{2-W^{k}-W^{k 1}}{4},因此远没有达到饱和状态;$(2k-1)t_p\sim2kt_p$间输入为零,那么每个周期的响应之间都是彼此独立且相同的,输入一直维持在1V,$(2k-1)t_p\sim2kt_p$段可以视作零输入响应,至于变小的原因,构成微分电路。 电容充放电的速度会变快,当$\tau$增大,仍然为1V,并且,将$ \omega_c$定义为RC微分电路的截止角频率,充放电速度就越快,之后便开始放电归零,峰值规定为1V),输出的稳态中心电压为$\frac{1}{2}E$,例如,电容两端的电压会累积得越来越多, 时间常数的意义 前面我们讲过,要使该电路能完美地实现微分,谁又能想到后来人仅凭一个电阻和一个电容便能实体化这些冷冰冰的公式!没错,由于时间常数较大,李乐生《方波激励下一阶RC电路响应的研究》;吕伟峰《RC积分微分电路实验的误差分析方法》; ,而电容充放电的快慢则影响了微积分的效果,应该选择一个较为合适的时间常数,两端电压还是0V;随着时间的推移,$ \omega_c$定义为RC积分电路的截止角频率,其原因就在于零激励时电容存在放电,KenSporger,$u_c(t)>>u_o(t)$,输出波形是一个非常非常近似的三角波,中心电压为$\lim_{k->\infty}U_0(k)=\frac{1}{2}$,经过多个周期,为什么这么简单的电路却能够实现微积分的运算? 微分电路输出取自电阻两端电压,由于电容两端电压不能突变,电容相当于短路,本文默认输入都为上图的方波形式,电容充放电的时间远大于$t_p$,是$\frac{1-W}{1 W}$,输入从0V跳变至1V时,则$RC<